Kako izračunati kutnu brzinu

Sadržaj

• Osnove pokreta
• Jednadžba kutne brzine
• Rotacijske jednadžbe gibanja
• Srodne količine i izrazi
• Kutna brzina prema linearnoj brzini

U svakodnevnom diskursu često se izmjenjuju "brzina" i "brzina". U fizici, međutim, ti pojmovi imaju specifična i različita značenja. "Brzina" je brzina pomicanja objekta u prostoru, a daje ga samo brojem s određenim jedinicama (često u metrima u sekundi ili miljama na sat). S druge strane, brzina je brzina vezana za pravac. Brzina se, dakle, naziva skalarnom veličinom, dok je brzina vektorska količina.

Kad automobil zatvara autocestom ili baseball zavija kroz zrak, brzina tih objekata mjeri se u odnosu na zemlju, dok brzina uključuje više informacija. Na primjer, ako ste u automobilu koji putuje brzinom od 70 milja na sat na Interstate 95 na istočnoj obali Sjedinjenih Država, također bi bilo korisno znati kreće li se sjeveroistočno prema Bostonu ili južno prema Floridi. Uz pomoć bejzbola možda želite znati da li se njegova y-koordinata mijenja brže od x-koordinate (leteća kugla) ili je ako je obrnuto (linijski pogon). Ali što je sa predenjem guma ili rotacijom (okretanjem) bejzbola dok se automobil i lopta kreću prema krajnjem odredištu? Za ovakve vrste pitanja fizika nudi pojam kutna brzina.

Osnove pokreta

Stvari se kreću kroz trodimenzionalni fizički prostor na dva glavna načina: prijevod i rotacija. Prijevod je premještanje cijelog objekta s jedne lokacije na drugu, poput automobila koji vozi iz New Yorka do Los Angelesa. Rotacija je, s druge strane, ciklično kretanje objekta oko fiksne točke. Mnogi predmeti, poput bejzbola u gornjem primjeru, istodobno pokazuju obje vrste pokreta; dok se leteća kugla kretala zrakom od kućne ploče prema izlaznoj ogradi, takoer se vrti pod određenom brzinom oko vlastitog središta.

Opisivanje ove dvije vrste kretanja tretira se kao zaseban fizički problem; to jest, prilikom izračuna udaljenosti koju kugla putuje zrakom na temelju stvari poput početnog kuta pokretanja i brzine kojom ostavlja palicu, možete zanemariti njezinu rotaciju, a prilikom izračunavanja njezine rotacije možete je tretirati kao sjedeći u jednom mjesto za sadašnje svrhe.

Jednadžba kutne brzine

Prvo, kada govorite o bilo kojem „kutnom“, bilo da je riječ o brzini ili nekoj drugoj fizičkoj veličini, to shvatite, jer se bavite uglovima, govorite o putovanju u krugovima ili njihovim dijelovima. Možete se prisjetiti iz geometrije ili trigonometrije da je opseg kruga njegov promjer veći od konstante pi, ili πd, (Vrijednost pi je oko 3,14159.) To se češće izražava u radijusu krugova r, koji je pola promjera, što čini obim 2πr.

Osim toga, vjerojatno ste negdje usput naučili da se krug sastoji od 360 stupnjeva (360 °). Ako pomaknete udaljenost S duž kruga, tada je kutni pomak θ jednak S / r. Jedna puna revolucija tada daje 2πr / r, što ostavlja samo 2π. To znači da kutovi manji od 360 ° mogu biti izraženi u pi, ili drugim riječima, u radijanima.

Uzimajući sve ove podatke zajedno, možete izraziti kutove ili dijelove kruga u jedinicama osim stupnjeva:

360 ° = (2π) radijana, ili

1 radijan = (360 ° / 2π) = 57,3 °,

Dok se linearna brzina izražava u duljini po jedinici vremena, kutna brzina mjeri se u radijanima po jedinici vremena, obično u sekundi.

Ako znate da se čestica kreće u kružnom putu s velikom brzinom v na udaljenosti r iz središta kruga, smjerom od v uvijek okomiti na polumjer kruga, tada se može zapisati kutna brzina

ω = v / r,

gdje ω je grčko pismo omega. Jedinice kutne brzine su radijani u sekundi; Ovu jedinicu možete tretirati i kao "recipročne sekunde", jer v / r daje m / s podijeljeno s m ili s^-1, što znači da su radijani tehnički nejedinstvena količina.

Rotacijske jednadžbe gibanja

Formula kutnog ubrzanja izvedena je na isti bitan način kao i formula kutne brzine: To je samo linearno ubrzanje u pravcu okomitom na polumjer kruga (ekvivalentno, njegovo ubrzanje duž tangente na kružni put u bilo kojoj točki) podijeljeno polumjerom kruga ili dijela kruga, koji je:

α = a_t/ r

To također daje:

α = ω / t

jer za kružno gibanje, a_t = ωr / t = v / t.

α, kao što vjerojatno znate, grčko je slovo "alfa". Ovdje podpis "t" označava "tangenciju".

Zanimljivo je da se rotacijsko gibanje može pohvaliti drugom vrstom ubrzanja, koja se naziva centripetalnim („traženje centra“) ubrzanja. To je dano izrazom:

_c = v²/ r

To ubrzanje usmjereno je prema točki oko koje se predmetni predmet rotira. To se može činiti čudnim, budući da se objekt sve više ne približava ovoj središnjoj točki od radijusa r popravljeno je. Razmislite o centripetalnom ubrzanju kao slobodnom padu u kojem nema opasnosti da objekt udari o tlo, jer sila koja vuče objekt prema njemu (obično gravitacija) točno je kompenzirana tangencijalnim (linearnim) ubrzanjem opisanim prvom jednadžbom u ovaj odjeljak. Ako _c nisu bili jednaki _t, objekt bi ili odletio u svemir ili bi se uskoro srušio u sredinu kruga.

Srodne količine i izrazi

Iako se kutna brzina obično izražava, kao što je napomenuto, u radijanima u sekundi, mogu postojati slučajevi u kojima je poželjno ili je potrebno koristiti stupnjeve u sekundi umjesto toga, ili obrnuto, pretvoriti iz stupnjeva u radijane prije nego što riješite problem.

Recite da su vam rekli da se izvor svjetlosti okreće za 90 ° svake sekunde stalnom brzinom. Kolika je njegova kutna brzina u radijanima?

Prvo, zapamtite da je 2π radijana = 360 °, i postavite omjer:

360 / 2π = 90 / x

360x = 180π

x = ω = π / 2

Odgovor je polovina pi radijana u sekundi.

Da su vam dalje rekli da svjetlosni snop ima domet od 10 metara, koji bi bio vrh snopa linearne brzine v, njegovo kutno ubrzanje α i njegovo centripetalno ubrzanje _c?

Da se riješim za v, odozgo, v = ωr, gdje je ω = π / 2 i r = 10m:

(π / 2) (10) = 5π rad / s = 15,7 m / s

Da se riješim za α, jednostavno dodajte još jednu vremensku jedinicu u nazivnik:

α = 5π rad / s²

(Imajte na umu da ovo djeluje samo za probleme u kojima je kutna brzina konstantna.)

Napokon, također odozgo, a_c = v²/ r = (15,7)²/ 10 = 24,65 m / s².

Kutna brzina prema linearnoj brzini

Gradeći na prethodnom problemu, zamislite sebe na vrlo velikoj stazi, koja ima malo vjerojatan radijus od 10 kilometara (10 000 metara). Ovaj veselica čini jedan potpuni okret svakih 1 minutu i 40 sekundi, ili svakih 100 sekundi.

Jedna posljedica razlike između kutne brzine, koja je neovisna o udaljenosti od osi rotacije, i linearne kružne brzine, koja nije, je da dvije osobe doživljavaju istu ω može proći kroz različito fizičko iskustvo. Ako se nalazite na 1 metar od središta ako je ova vjerojatna, masovna vrpca, vaša linearna (tangencijalna) brzina je:

ωr = (2π rad / 100 s) (1 m) = 0,0628 m / s, ili 6,29 cm (manje od 3 inča) u sekundi.

Ali ako ste na rubu ovog čudovišta, vaša linearna brzina je:

ωr = (2π rad / 100 s) (10 000 m) = 628 m / s. To je otprilike 1.406 milja na sat, brže od metka. Čekaj!