Sadržaj
Jednom kada počnete rješavati algebarske jednadžbe u koje su uključeni polinomi, sposobnost prepoznavanja posebnih oblika polinoma koje se lako odobravaju postaje vrlo korisna. Jedan od najkorisnijih polinomija „jednostavnog faktora“ koji se mogu uočiti je savršeni kvadrat, ili trinom, koji nastaje kvadratom binoma. Jednom kada prepoznate savršeni kvadrat, faktoring u njegove pojedinačne komponente često je važan dio procesa rješavanja problema.
Prepoznavanje savršenih kvadratnih trinomala
Prije nego što uspijete odrediti savršeni kvadratni trinom, morate ga naučiti prepoznati. Savršeni kvadrat može poprimiti bilo koji od dva oblika:
Neki primjeri savršenih kvadrata koje biste mogli vidjeti u "stvarnom svijetu" matematičkih problema uključuju:
Što je ključno za prepoznavanje ovih savršenih kvadrata?
Provjerite prvi i treći pojam trinoma. Jesu li oba kvadrata? Ako je odgovor da, shvatite na čemu su kvadrati. Na primjer, u drugom primjeru "stvarnog svijeta" koji je gore naveden, y2 - 2_y_ + 1, pojam y2 očito je trg od y. Izraz 1 je, možda manje očito, kvadrat 1, jer 12 = 1.
Pomnožite korijene prvog i trećeg pojma zajedno. Za nastavak primjera, to je y i 1, koji vam daje y × 1 = 1_y_ ili jednostavno y.
Zatim umnožite svoj proizvod s 2. Nastavljajući primjer, imate 2_y._
Na kraju, usporedite rezultat zadnjeg koraka sa srednjim pojam polinoma. Odgovaraju li? U polinomu y2 - 2_y_ + 1, oni to čine. (Znak je nebitan; itd. Također će biti podudaranje ako je srednji pojam + 2_y_.)
Budući da je odgovor u koraku 1 bio "da", a vaš rezultat iz koraka 2 odgovara srednjem terminu polinoma, znate da gledate savršeni kvadratni trinom.
Faktoring savršeni kvadratni trinom
Jednom kada znate da gledate savršeni kvadratni trinom, postupak faktoringa prilično je jednostavan.
Identificirajte korijene ili brojeve koji su kvadratni u prvom i trećem izrazu trinomala. Razmislite o još jednom vašem primjeru trinomila za koji već znate da je savršen kvadrat, x2 + 8_x_ + 16. Očito je da se u prvom izrazu navodi kvadrat x, Broj koji se navodi u trećem izrazu je 4, jer je 42 = 16.
Osvrnite se na formule za savršene kvadratne trinomile. Znate da će vaši čimbenici biti u bilo kojem obliku ( + b)( + b) ili oblik ( – b)( – b), gdje i b jesu li brojevi u prvom i trećem izrazu kvadratni. Na taj način možete svoje faktore ispisati na taj način izostavljajući znakove usred svakog termina:
( ? b)( ? b) = 2 ? 2_ab_ + b2
Za nastavak primjera zamjenom korijena trenutnog trinoma, imate:
(x ? 4)(x ? 4) = x2 + 8_x_ + 16
Provjerite srednji pojam trinoma. Ima li pozitivan ili negativan predznak (ili drugačije rečeno, dodaje li se ili oduzima)? Ako ima pozitivan predznak (ili se dodaje), oba faktora trinoma imaju u sredini znak plus. Ako ima negativan predznak (ili se oduzima), oba faktora imaju negativan predznak u sredini.
Srednji pojam trenutnog primjera trinomaja je 8_x_ - njegov pozitivan rezultat - pa ste sada uzeli u obzir savršen kvadratni trinomial:
(x + 4)(x + 4) = x2 + 8_x_ + 16
Provjerite svoj rad množenjem dva faktora zajedno. Primjena FOIL-a ili prva, vanjska, unutarnja, posljednja metoda daje vam:
x2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Pojednostavljivanje toga daje rezultat x2 + 8_x_ + 16, što odgovara vašem trinomalu. Dakle, faktori su tačni.