Sadržaj
U matematici, niz je bilo koji niz brojeva raspoređenih u povećanju ili padanju. Niz postaje geometrijski niz kada ste u mogućnosti dobiti svaki broj množenjem prethodnog broja u zajedničkom faktoru. Na primjer, serije 1, 2, 4, 8, 16. , , je geometrijski niz s zajedničkim faktorom 2. Ako bilo koji broj u nizu množite sa 2, dobit ćete sljedeći broj. Suprotno tome, niz 2, 3, 5, 8, 14, 22. , , nije geometrijski jer nema zajedničkog faktora između brojeva. Geometrijski niz može imati frakcijski zajednički faktor, u tom slučaju je svaki uzastopni broj manji od onog koji mu prethodi. 1, 1/2, 1/4, 1/8. , , je primjer. Njezin je zajednički faktor 1/2.
Činjenica da geometrijski niz ima zajednički faktor omogućuje vam da napravite dvije stvari. Prvi je izračunati bilo koji slučajni element u nizu (koji matematičari vole nazivati elementom "nth"), a drugi je pronaći zbroj geometrijskog niza do n-tog elementa. Kad zbrojite redoslijed stavljanjem znaka plus između svakog para izraza, pretvarate ga u geometrijski niz.
Pronalaženje n-og elementa u geometrijskoj seriji
Općenito, bilo koji geometrijski niz možete predstaviti na sljedeći način:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 . . .
pri čemu je "a" prvi pojam u nizu, a "r" čest faktor. Da biste to provjerili, razmotrite niz u kojem su a = 1 i r = 2. Dobivate 1 + 2 + 4 + 8 + 16. , , radi!
Kad je to utvrđeno, sada je moguće izvesti formulu za n-ti pojam u nizu (xn).
xn = ar(N-1)
Izložak je n - 1, a ne n da bi se omogućilo da se prvi izraz u nizu napiše kao ar0, što je jednako "a".
To provjerite izračunavanjem četvrtog pojma u primjeru serije.
x4 = (1) • 23 = 8.
Izračunavanje zbroja geometrijske sekvence
Ako želite zbrojiti različitu sekvencu, koja je uobičajena omjer veća od 1 ili manja od -1, to možete učiniti samo do ograničenog broja pojmova. Međutim, moguće je izračunati zbroj beskonačnog konvergentnog niza, koji je zajednički omjer između 1 i -1.
Da biste razvili formulu geometrijske sume, započnite s razmatranjem onoga što radite. Tražite ukupno slijedeće serije dodataka:
a + ar + ar2 + ar3 +. , , ar(N-1)
Svaki pojam u nizu je ark, a k ide od 0 do n-1. Formula za zbroj niza koristi znak velike sigme - ∑ - što znači dodati sve izraze iz (k = 0) u (k = n - 1).
Σark = a
Da biste to provjerili, razmotrite zbroj prva četiri pojma geometrijskog niza koji započinje s 1 i ima zajednički faktor 2. U gornjoj formuli a = 1, r = 2 i n = 4. Uključite ove vrijednosti, dobiti:
1 • = 15
To je lako potvrditi dodavanjem brojeva u nizu sami. U stvari, kad vam treba zbroj geometrijskog niza, obično je lakše sami dodati brojeve kad postoji samo nekoliko izraza. Ako serija ima velik broj izraza, daleko je jednostavnija uporaba geometrijske zbirne formule.