Sadržaj
- Što je faktor?
- Pronalaženje najvećeg zajedničkog faktora: Prva metoda
- Pronalaženje najvećeg zajedničkog čimbenika: Druga metoda
- Pojednostavljivanje frakcija s uobičajenim faktorima
Pronalaženje najvećeg zajedničkog faktora, ili GCF, dva broja korisno je u mnogim matematičkim situacijama, ali posebno kada je riječ o pojednostavljivanju ulomaka. Ako se borite s tim ili pronalazite zajedničke nazivatelje, učenje dviju metoda za pronalaženje zajedničkih faktora pomoći će vam da postignete ono što namjeravate učiniti. No prvo je dobra ideja naučiti o osnovama faktora; tada možete pogledati dva pristupa za pronalaženje zajedničkih čimbenika. Konačno, možete pogledati kako primijeniti svoje znanje kako bi pojednostavili djelić.
Što je faktor?
Faktori su brojevi koje množite zajedno kako biste dobili još jedan broj. Na primjer, 2 i 3 su faktori 6, jer je 2 × 3 = 6. Slično tome, 3 i 3 su faktori 9, jer je 3 × 3 = 9. Kao što možda znate, glavni brojevi su brojevi koji nemaju druge faktore osim sami i 1. Dakle, 3 je primarni broj, jer su jedina dva cijela broja (cijeli brojevi) koja se mogu množiti zajedno da bi dala 3 kao odgovor 3 i 1. Na isti način 7 je primarni broj, a tako je i 13 ,
Zbog toga je često korisno razvrstati broj na "glavne faktore". To znači pronaći sve faktore pravog broja drugog broja. On u osnovi raščlanjuje broj na svoje temeljne „građevne blokove“, što je koristan korak prema pronalaženju najvećeg zajedničkog faktora dva broja i također je neprocjenjiv kada je u pitanju pojednostavljivanje kvadratnih korijena.
Pronalaženje najvećeg zajedničkog faktora: Prva metoda
Najjednostavnija metoda pronalaženja najvećeg zajedničkog faktora dva broja jest jednostavno popis svih faktora svakog broja i traženje najvećeg broja koji ih oboje dijele. Zamislite da želite pronaći najveći zajednički faktor od 45 i 60. Prvo, pogledajte različite brojeve koje možete množiti zajedno da proizvedete 45.
Najlakši način za početak je s dvije za koje znate da će raditi, čak i za vrhunski broj. U ovom slučaju znamo 1 × 45 = 45, pa znamo da su 1 i 45 faktori od 45. To su prvi i posljednji faktori od 45, pa odatle možete jednostavno popuniti. Zatim utvrdite je li 2 faktor. To je lako jer će svaki parni broj biti djeljiv sa 2, a neparni broj neće biti. Dakle znamo da 2 nisu faktor 45. A što je s 3? Trebali biste moći uočiti da je 3 faktor 45, jer je 3 × 15 = 45 (uvijek možete nadograditi na onome što znate kako biste to utvrdili, na primjer, znat ćete da je 3 × 12 = 36 i dodavanje troje to vas vodi do 45).
Dalje, je 4 faktor 45? Ne - znate 11 × 4 = 44, pa ne može biti! Dalje, što je s 5? Ovo je još jedan lak, jer bilo koji broj koji završava sa 0 ili 5 dijeli se sa 5. A s tim lako možete uočiti da je 5 × 9 = 45. Ali 6 nije dobro jer je 7 × 6 = 42 i 8 × 6 = 48. Iz ovoga također možete vidjeti da 7 i 8 nisu faktori od 45. Već znamo da je 9 i lako je vidjeti da 10 i 11 nisu faktori. Nastavite ovaj postupak i primijetit ćete da je 15 faktor, ali ništa drugo nije.
Dakle, faktori 45 su: 1, 3, 5, 9, 15 i 45.
Za 60 godina prolazite kroz potpuno isti postupak. Ovoga puta broj je paran (pa znate da je 2 faktor) i djeljiv sa 10 (dakle, 5 i 10 su oba faktora), što pojednostavljuje stvari. Nakon ponovnog prolaska kroz postupak, trebali biste vidjeti da su faktori 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.
Ako usporedimo dva popisa, 15 je najveći zajednički faktor od 45 i 60. Ova metoda može biti dugotrajna, ali jednostavna je i uvijek će uspjeti. Možete početi i s bilo kojim visokim zajedničkim faktorom koji možete uočiti odmah, a zatim jednostavno potražite veće faktore svakog broja.
Pronalaženje najvećeg zajedničkog čimbenika: Druga metoda
Druga metoda pronalaženja GCF-a za dva broja je uporaba pravih faktora. Proces primarne faktorizacije malo je lakši i strukturiraniji od pronalaženja svakog faktora. Prolazimo kroz postupak za 42 i 63.
Proces primarne faktorizacije u osnovi uključuje spuštanje broja sve dok vam ne preostanu samo glavni brojevi. Najbolje je započeti s najmanjim premijerom (dva) i raditi odatle. Dakle, za 42 godine lako je vidjeti da je 2 × 21 = 42. Onda radite od 21: Je li 2 faktor? Ne. Je li 3? Da! 3 × 7 = 21, a 3 i 7 su prva broja. To znači da su glavni faktori 42 2, 3 i 7. Prvi "break" je 2 koristio da biste dobili 21, a drugi je razbio na 3 i 7. To možete provjeriti množenjem svih vaših faktora zajedno i provjerenjem dobivate originalni broj: 2 × 3 × 7 = 42.
Za 63, 2 nije faktor, ali 3 je, jer je 3 × 21 = 63. Opet, 21 se raspada na 3 i 7 - oba glavna - tako da znate glavne čimbenike! Provjera pokazuje da je 3 × 3 × 7 = 63, prema potrebi.
Najviši zajednički faktor pronalazite ako pogledate koji su glavni faktori zajednički. U ovom slučaju, 42 imaju 2, 3 i 7, a 63 imaju 3, 3 i 7. Zajedničko im je 3 i 7. Da biste pronašli najveći zajednički faktor, pomnožite sve zajedničke glavne faktore zajedno. U ovom je slučaju 3 × 7 = 21, pa je 21 najveći zajednički faktor 42 i 63.
Prethodni se primjer može brzo riješiti i na ovaj način. Budući da je 45 djeljivo sa tri (3 × 15 = 45), a 15 je također djeljivo sa tri (3 × 5 = 15), glavni faktori 45 su 3, 3 i 5. Za 60 je djeljivo s dva (2 × 30 = 60), 30 je podijeljeno i s dva (2 × 15 = 30), a zatim vam ostaje 15, za koje znamo da su tri i pet kao glavni faktori, ostavljajući 2, 2, 3 i 5. Ako usporedimo dva popisa, tri i pet uobičajeni su glavni faktori, tako da je najveći zajednički faktor 3 × 5 = 15.
U slučaju da postoje tri ili više uobičajenih glavnih faktora, sve ih množite na isti način da biste pronašli najveći zajednički faktor.
Pojednostavljivanje frakcija s uobičajenim faktorima
Ako vam se predstavi ulomak poput 32/96, možete izvršiti sve proračune koji slijede nakon njega vrlo kompliciranim ako ne možete pronaći način da pojednostavite ulomak. Pronalaženje najnižeg zajedničkog faktora od 32 i 96 reći će vam broj koji trebate podijeliti na jedan, tako da dobijete jednostavniji ulomak. U ovom slučaju:
32 = 2 × 16
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Dakle 32 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Za 96, postupak daje:
96 = 48 × 2
48 = 24 × 2
24 = 12 × 2
12 = 6 × 2
6 = 3 × 2
Dakle 96 = 25 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Treba biti jasno da 25 = 32 je najviši zajednički faktor. Podjela oba dijela frakcije na 32 daje:
32/96 = 1/3
Pronalaženje zajedničkih nazivnika sličan je postupak. Zamislite da ste morali dodati frakcije 15/45 i 40/60. Iz prvog primjera znamo da je 15 najviši zajednički faktor 45 i 60, pa ih možemo odmah izraziti kao 5/15 i 10/15. Budući da je 3 × 5 = 15, a oba su brojača također djeljiva sa pet, možemo podijeliti oba dijela frakcije po pet da bismo dobili 1/3 i 2/3. Sada im je puno lakše dodati i vidjeti da je 15/45 + 40/60 = 1.