Kako pronaći eksponencijalnu jednadžbu s dvije točke

Sadržaj

• Zašto su eksponencijalne funkcije važne
• Od para točaka do grafikona
• Jedna točka na X-osi
• Niti točka na X-osi
• Primjer iz stvarnog svijeta

Ako znate dvije točke koje padaju na određenu eksponencijalnu krivulju, krivulju možete definirati rješavanjem opće eksponencijalne funkcije pomoću tih točaka. U praksi to znači zamjenu točaka za y i x u jednadžbi y = ab^x, Postupak je lakši ako je x-vrijednost za jednu od točaka 0, što znači da je točka na y-osi. Ako nijedna točka nema nulu x-vrijednosti, postupak rješavanja za x i y je tad složeniji.

Zašto su eksponencijalne funkcije važne

Mnogi važni sustavi slijede eksponencijalne obrasce rasta i propadanja. Na primjer, broj bakterija u koloniji obično se eksponencijalno povećava, a ambijentalno zračenje u atmosferi nakon nuklearnog događaja obično eksponencijalno opada. Uzimanjem podataka i crtanjem krivulje, znanstvenici su u boljoj poziciji za predviđanja.

Od para točaka do grafikona

Bilo koja točka na dvodimenzionalnom grafu može se predstaviti s dva broja, koja se obično pišu u obliku (x, y), gdje x definira vodoravnu udaljenost od izvora i y predstavlja vertikalnu udaljenost. Na primjer, točka (2, 3) je dvije jedinice desno od osi y i tri jedinice iznad osi x. S druge strane, točka (-2, -3) je dvije jedinice lijevo od osi y. i tri jedinice ispod osi x.

Ako imate dvije točke, (x₁, y₁) i (x₂, y₂), možete definirati eksponencijalnu funkciju koja prolazi kroz te točke zamjenom u jednadžbu y = ab^x i rješavanje za a i b. Općenito, morate riješiti ovaj par jednadžbi:

y₁ = ab^x1 i y₂ = ab^x2, .

U ovom obliku matematika izgleda malo komplicirano, ali izgleda manje tako nakon što ste napravili nekoliko primjera.

Jedna točka na X-osi

Ako je jedna od x-vrijednosti - recimo x₁ - je 0, operacija postaje vrlo jednostavna. Na primjer, rješavanjem jednadžbe za točke (0, 2) i (2, 4) dobije se:

2 = ab⁰ i 4 = ab², Budući da znamo da je b⁰ = 1, prva jednadžba postaje 2 = a. Zamjenom a u drugoj jednadžbi dobiva se 4 = 2b², koje pojednostavljujemo na b² = 2 ili b = kvadratni korijen od 2, što je približno 1,41. Tada je definirajuća funkcija y = 2 (1,41)^x.

Niti točka na X-osi

Ako ni jedna vrijednost x nije jednaka, rješavanje para jednadžbi je nešto nezgrapnije. Henochmath nas vodi kroz jednostavan primjer da razjasnimo ovaj postupak. U svom je primjeru odabrao par bodova (2, 3) i (4, 27). Dobije se sljedeći par jednadžbi:

27 = ab⁴

3 = ab²

Ako prvu jednadžbu podijelite s drugom, dobićete

9 = b²

pa je b = 3. Moguće je da i b bude jednak -3, ali u ovom slučaju pretpostavite njegovu pozitivu.

Ovu vrijednost za b možete zamijeniti u bilo kojoj jednadžbi da biste dobili a. Lakše je koristiti drugu jednadžbu, pa:

3 = a (3)² što se može pojednostaviti na 3 = a9, a = 3/9 ili 1/3.

Jednadžba koja prolazi kroz ove točke može se zapisati kao y = 1/3 (3)^x.

Primjer iz stvarnog svijeta

Od 1910. godine, rast ljudske populacije bio je eksponencionalan, a crtanjem krivulje rasta znanstvenici su u boljoj poziciji za predviđanje i planiranje budućnosti. Godine 1910. svjetsko je stanovništvo bilo 1,75 milijardi, a 2010. godine 6,87 milijardi. Uzimajući 1910. kao polazište, to daje par bodova (0, 1.75) i (100, 6.87). Budući da je x vrijednost prve točke jednaka nuli, lako možemo pronaći a.

1,75 = ab⁰ ili a = 1,75. Uključenjem ove vrijednosti, zajedno s vrijednostima druge točke, u opću eksponencijalnu jednadžbu dobiva 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, što daje vrijednost b kao stoti korijen 6,87 / 1,75 ili 3,93. Tako jednadžba postaje y = 1,75 (stoti korijen 3,93)^x. Iako je za to potrebno više od pravila dijapozitiva, znanstvenici mogu pomoću ove jednadžbe projicirati buduće brojeve stanovništva kako bi pomogli političarima u sadašnjosti da stvore odgovarajuće politike.