Kako izračunati vlastite vrijednosti

Sadržaj

• Matrice, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori: što oni znače
• Kako izračunati vlastite vrijednosti
• Savjet
• Pronalaženje svojstvenih vektora

Kad vam se u razredu matematike ili fizike predstavi matrica, često ćete biti upitani da pronađete njene vlastite vrijednosti. Ako niste sigurni što to znači ili kako to učiniti, zadatak je zastrašujući i uključuje puno zbunjujućih terminologija što stvari čini još gorim. Međutim, postupak izračunavanja vlastitih vrijednosti nije previše zahtjevan ako vam nije lako rješavati kvadratne (ili polinomne) jednadžbe, pod uvjetom da naučite osnove matrica, svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora.

Matrice, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori: što oni znače

Matrice su nizovi brojeva gdje A stoji za naziv generičke matrice, poput ove:

( 1 3 )

= ( 4 2 )

Brojevi u svakoj poziciji variraju, a na njihovom mjestu mogu čak biti i algebrični izrazi. To je matrica 2 × 2, ali oni dolaze u raznim veličinama i nemaju uvijek jednak broj redaka i stupaca.

Postupanje s matricama razlikuje se od bavljenja običnim brojevima, a postoje posebna pravila za njihovo množenje, dijeljenje, zbrajanje i oduzimanje jedna od druge. Pojmovi "svojstvena vrijednost" i "svojstveni vektor" koriste se u matričnoj algebri za označavanje dvije karakteristične veličine s obzirom na matricu. Ovaj problem svojstvene vrijednosti pomaže vam da shvatite što taj pojam znači:

∙ v = λ ∙ v

je opća matrica kao i prije, v je neki vektor, a λ je karakteristična vrijednost. Pogledajte jednadžbu i primijetite da kad množite matricu po vektoru v, učinak je reproduciranje istog vektora upravo pomnoženog s vrijednošću λ. Ovo je neobično ponašanje i zarađuje vektor v a količina λ posebni nazivi: svojstveni vektor i svojstvena vrijednost. To su karakteristične vrijednosti matrice jer množenje matrice s vlastitim vektorom ostavlja vektor nepromijenjen, osim množenja s faktorom svojstvene vrijednosti.

Kako izračunati vlastite vrijednosti

Ako imate problem svojstvene vrijednosti za matricu u nekom obliku, pronalazak je svojstvene vrijednosti lako (jer će rezultat biti vektor isti kao izvorni, osim množen stalnim faktorom - svojstvenom vrijednošću). Odgovor se nalazi rješenjem karakteristične jednadžbe matrice:

det ( – λja) = 0

Gdje ja je matrica identiteta, koja je prazna osim niza oznaka 1 koje vode dijagonalno niz matricu. "Det" se odnosi na odrednicu matrice koja za opću matricu:

(a b)

= (c d)

Dao od

Det = oglas –bc

Znači karakteristična jednadžba znači:

(a - λ b)

det ( – λja) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Kao primjer matrice, definirajmo kao:

( 0 1 )

= (−2 −3 )

To znači:

det ( – λja) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Rješenja za λ su svojstvene vrijednosti i to rješavate kao i svaka kvadratna jednadžba. Rješenja su λ = - 1 i λ = - 2.

Savjet

Pronalaženje svojstvenih vektora

Pronalaženje vlastitih vektora sličan je proces. Korištenje jednadžbe:

( – λ) ∙ v = 0

sa svakim svojstvenim vrijednostima koje ste zauzvrat pronašli. To znači:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

( – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

To možete riješiti tako što ćete redom razmatrati svaki red. Trebate samo omjer od v₁ do v₂, jer će za to biti beskonačno mnogo potencijalnih rješenja v₁ i v₂.