Euklidska udaljenost je udaljenost između dviju točaka u euklidskom prostoru. Euklidski prostor izvorno je osmislio grčki matematičar Euclid oko 300 B.C.E. proučiti odnose kutova i udaljenosti. Ovaj se geometrijski sustav koristi i danas, a srednjoškolci ga najčešće proučavaju. Euklidska geometrija posebno se odnosi na prostore dviju i tri dimenzije. Međutim, lako se može generalizirati na dimenzije višeg reda.
Izračunajte euklidsku udaljenost za jednu dimenziju. Udaljenost između dviju točaka u jednoj dimenziji jednostavno je apsolutna vrijednost razlike između njihovih koordinata. Matematički se to prikazuje kao | p1 - q1 | gdje je p1 prva koordinata prve točke, a q1 je prva koordinata druge točke. Koristimo apsolutnu vrijednost ove razlike jer se smatra da udaljenost ima samo negativnu vrijednost.
Uzmimo dvije točke P i Q u dvodimenzionalnom euklidskom prostoru. Opisat ćemo P s koordinatama (p1, p2) i Q s koordinatama (q1, q2). Sada konstruirajte linijski segment s krajnjim točkama P i Q. Ovaj će linijski oblik tvoriti hipotenuzu pravog trokuta. Proširivši rezultate dobivene u koraku 1, zabilježimo da su duljine krakova ovog trokuta date od | p1 - q1 | i | p2 - q2 |. Udaljenost između dviju točaka tada će biti dana kao duljina hipotenuze.
Koristite pitagorejski teorem da odredite duljinu hipotenuze u koraku 2. Ovaj teorem kaže da je c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 gdje je c duljina hipotenuze desnog trokuta, a a, b su duljine drugog dvije noge. To nam daje c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Razmak između 2 točke P = (p1, p2) i Q = (q1, q2) u dvodimenzionalnom prostoru je stoga ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Proširite rezultate koraka 3 na trodimenzionalni prostor. Udaljenost između točaka P = (p1, p2, p3) i Q = (q1, q2, q3) tada se može dati kao ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generalizirajte rješenje u koraku 4 za udaljenost između dviju točaka P = (p1, p2, ..., pn) i Q = (q1, q2, ..., qn) u n dimenzijama. Ovo opće rješenje može se dati kao ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).