Kako pronaći korijene polinoma

Sadržaj

• Koliko korijena?
• Upozorenja
• Pronađite korijene faktoringom: Primjer 1
• Pronađite korijene faktoringom: Primjer 2
• Pronađite korijene grafičkim prikazom

Korijeni polinoma nazivaju se i nulama, jer su korijeni the x vrijednosti kod kojih je funkcija jednaka nuli. Kada je u pitanju pronalaženje korijena, na raspolaganju imate više tehnika; faktoring je metoda koju najčešće koristite, iako graficiranje može biti korisno.

Koliko korijena?

Ispitajte izraz polinoma najvišeg stupnja - to je izraz s najvećom eksponentom. Taj pokazatelj je koliko korijena će polinom imati. Dakle, ako je najveća eksponenta u vašem polinomu 2, ona će imati dva korijena; ako je najviša eksponenta 3, ima tri korijena; i tako dalje.

Upozorenja

Pronađite korijene faktoringom: Primjer 1

Najosvestraniji način pronalaženja korijena je čimbeništvo u polinomu i postavljanje svakog pojma jednakog nuli. Ovo ima puno više smisla nakon što prođete kroz nekoliko primjera. Razmotrimo jednostavan polinom x² - 4_x: _

Kratki pregled pokazuje da možete uzeti u obzir x iz oba termina polinoma, što vam daje:

x(x – 4)

Svaki izraz postavite na nulu. To znači rješavanje za dvije jednadžbe:

x = 0 je prvi pojam postavljen na nulu, i

x - 4 = 0 je drugi pojam postavljen na nulu.




Već imate rješenje za prvi mandat. Ako x = 0, tada je cijeli izraz jednak nuli. Tako x = 0 je jedan od korijena ili nula polinoma.

Sada razmislite o drugom terminu i riješite se x, Ako dodate 4 na obje strane imat ćete:

x - 4 + 4 = 0 + 4, što pojednostavljuje:

x = 4. Dakle, ako x = 4 tada je drugi faktor jednak nuli, što znači da je i cijeli polinom jednak nuli.

Budući da je izvorni polinom bio drugog stupnja (najviša eksponenta bila dva), znate da za ovaj polinom postoje samo dva moguća korijena. Oboje ste ih već našli, pa ih sve morate nabrojati:

x = 0, x = 4

Pronađite korijene faktoringom: Primjer 2

Evo još jednog primjera kako pronaći korijene faktoringom, koristeći neku maštovitu algebru na putu. Razmotrimo polinom x⁴ - 16. Brzo gledanje njegovih eksponenata pokazuje vam da bi za ovaj polinom trebalo biti četiri korijena; sada je vrijeme da ih pronađemo.

Jeste li primijetili da se ovaj polinom može prepisati kao razlika kvadrata? Dakle, umjesto x⁴ - 16, imate:

(x²)² – 4²

Koji se pomoću formule za razliku kvadrata razabire na sljedeće:

(x² – 4)(x² + 4)

Prvi izraz je, opet, razlika u kvadratima. Iako ne možete dalje faktirati pojam na desnoj strani, možete lijevo položiti faktor još jedan korak:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Sada je vrijeme za pronalaženje nula. Brzo postaje jasno da ako x = 2, prvi će faktor biti jednak nuli, a samim tim i cijeli izraz jednak će nuli.

Slično tome, ako x = -2, drugi će faktor biti jednak nuli, a samim tim i cijeli izraz.

Tako x = 2 i x = -2 su oba nula ili korijeni ovog polinoma.

Ali što je s tim zadnjim mandatom? Budući da ima eksponent "2", trebao bi imati dva korijena. Ali ne možete faktorirati ovaj izraz koristeći stvarne brojeve na koje ste navikli. Morate koristiti vrlo napredni matematički koncept koji se naziva imaginarnim brojevima ili, ako vam je draže, složenim brojevima. To je daleko izvan opsega vaše trenutne matematičke prakse, tako da je za sada dovoljno napomenuti da imate dva prava korijena (2 i -2) i dva imaginarna korijena koja ćete ostaviti nedefiniranim.

Pronađite korijene grafičkim prikazom

Korijene također možete pronaći, ili barem procijeniti, korijenjem. Svaki korijen predstavlja mjesto na kojem graf funkcije prelazi x os. Dakle, ako iscrtate crtu i zabilježite x koordinate gdje linija prelazi x osi, možete umetnuti procijenjeno x vrijednosti tih točaka u vašoj jednadžbi i provjerite jesu li ih ispravni.

Razmotrite prvi primjer koji ste radili za polinom x² - 4_x_. Ako ga pažljivo izvučete, vidjet ćete da linija prelazi x os na x = 0 i x = 4. Ako svaku od tih vrijednosti unesete u izvornu jednadžbu, dobit ćete:

0² - 4 (0) = 0, dakle x = 0 je vrijedila nula ili korijen za ovaj polinom.

4² - 4 (4) = 0, dakle x = 4 je također valjana nula ili korijen za ovaj polinom. A budući da je polinom bio stupnja 2, znate da možete prestati tražiti nakon pronalaska dva korijena.