Sadržaj
- TL; DR (Predugo; nisam pročitao)
- Što je složeni broj?
- Osnovna pravila za algebru sa složenim brojevima
- Podjela složenih brojeva
- Pojednostavljivanje složenih brojeva
Algebra često uključuje pojednostavljivanje izraza, ali neki su izrazi zbunjujući za obradu od drugih. Složeni brojevi uključuju količinu poznatu kao ja, "imaginarni" broj s entitetom ja = √ − 1. Ako morate jednostavno izraz koji sadrži složeni broj, može izgledati zastrašujuće, ali to je prilično jednostavan postupak nakon što naučite osnovna pravila.
TL; DR (Predugo; nisam pročitao)
Pojednostavite složene brojeve slijedeći pravila algebre sa složenim brojevima.
Što je složeni broj?
Složeni brojevi definirani su uključivanjem ja pojam, koji je kvadratni korijen od minus jedan. U matematici na osnovnoj razini četvrtasti korijeni negativnih brojeva zapravo ne postoje, ali se povremeno pojavljuju u problemima s algebrom. Opći oblik složenog broja pokazuje njihovu strukturu:
z = + dvo
Gdje z označava složen broj, predstavlja bilo koji broj (nazvan "stvarni" dio), i b predstavlja još jedan broj (nazvan "imaginarni" dio), koji oba mogu biti pozitivni ili negativni. Dakle, primjer složenog broja je:
z = 2 −4_i_
Budući da su svi kvadratni korijeni negativnih brojeva mogu biti predstavljeni višekratnicima od ja, ovo je obrazac za sve složene brojeve. Tehnički gledano, regularni broj upravo opisuje poseban slučaj složenog broja gdje b = 0, pa bi se svi brojevi mogli smatrati složenim.
Osnovna pravila za algebru sa složenim brojevima
Za dodavanje i oduzimanje složenih brojeva jednostavno dodajte ili oduzmite stvarne i imaginarne dijelove. Dakle, za složene brojeve z = 2 - 4_i_ i w = 3 + 5_i_, zbroj je:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)ja
= 5 + 1_i_ = 5 + ja
Oduzimanje brojeva djeluje na isti način:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)ja
= −1 - 9_i_
Množenje je još jedna jednostavna operacija sa složenim brojevima, jer djeluje poput običnog množenja, ali se toga morate sjećati ja2 = −1. Dakle, izračunati 3_i_ × −4_i_:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Ali od tada ja2= −1, tada:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
Sa punim složenim brojevima (koristeći z = 2 - 4_i_ i w = 3 + 5_i_ opet), množite ih na isti način kao što biste to učinili sa običnim brojevima poput ( + b) (c + d), pomoću metode "prvi, unutarnji, vanjski, zadnji" (FOIL), dati ( + b) (c + d) = AC + prije Krista + oglas + bd, Sve što morate zapamtiti je pojednostaviti sve slučajeve ja2, Tako na primjer:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 -2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Podjela složenih brojeva
Podjela složenih brojeva uključuje množenje brojača i nazivnika uloma s složenim konjugatorom nazivnika. Složeni konjugacija samo znači verziju složenog broja s imaginarnim dijelom obrnutim u znaku. Pa za z = 2 - 4_i_, složen konjugat z = 2 + 4_i_, i za w = 3 + 5_i_, w = 3 -5_i_. Za problem:
z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
Potreban je konjugat w*. Podijelite brojnik i nazivnik tako da dobijete:
z / w = (2 - 4_i_) (3 - 5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
A onda proradite kao u prethodnom odjeljku. Brojčar daje:
(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14 - 22_i_
A nazivnik daje:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
To znači:
z / w = (−14 - 22_i_) / 34
= −14/34 - 22_i_ / 34
= −7/17 - 11_i_ / 17
Pojednostavljivanje složenih brojeva
Koristite gornja pravila prema potrebi za pojednostavljenje složenih izraza. Na primjer:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - ja)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ja))
Ovo se može pojednostaviti korištenjem pravila sabiranja u brojniku, pravila množenja u nazivniku, a zatim dovršetkom dijeljenja. Za brojnik:
(4 + 2_i_) + (2 - ja) = 6 + ja
Za nazivnik:
(2 + 2_i _) (2+ ja) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
Ako ih vratite na mjesto, daje:
z = (6 + ja) / (2 + 6_i_)
Umnožavanje oba dijela konjugatorom nazivnika dovodi do:
z = (6 + ja) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
Dakle, to znači z pojednostavljuje kako slijedi:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - ja)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ja)) = 9/20 −17_i_ / 20