Ako biste uzeli kvadrat i nacrtali dvije dijagonalne crte, prelazile bi se u sredini i tvorile bi četiri pravokutna trougla. Dvije dijagonale se prelaze na 90 stupnjeva. Intuitivno možete pretpostaviti da će se dvije dijagonale kocke, svaka iz jednog ugla kocke prema suprotnom kutu i križati u sredini, također prelaziti pod pravim kutom. Pogriješili biste. Određivanje kuta pod kojim se dvije dijagonale u kocki međusobno križaju malo je složenije nego što se može činiti na prvi pogled, ali čini odličnu praksu za razumijevanje načela geometrije i trigonometrije.
Definirajte duljinu ruba kao jednu cjelinu. Po definiciji, svaki rub na kocki ima identičnu duljinu od jedne jedinice.
Koristite pitagorejski teorem da odredite duljinu dijagonale koja vodi od jednog ugla, do suprotnog kuta na istom licu. Nazovite ovo „kratkom dijagonalom“ radi jasnoće. Svaka strana formiranog pravog trokuta jedna je jedinica, pa dijagonala mora biti jednaka √2.
Upotrijebite pitagorejski teorem da odredite duljinu dijagonale koja vodi od jednog ugla do suprotnog kuta suprotnog lica. Nazovite to "dugom dijagonalom". Imate pravi trokut s jednom stranom jednakom 1 jedinici i jednom stranom jednakom "kratkom dijagonalom", √2 jedinice. Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata strana, pa hipotenuza mora biti √3. Svaka dijagonala koja vodi od jednog ugla kocke do suprotnog kuta dugačka je √3 jedinice.
Nacrtajte pravokutnik koji predstavlja dvije duge dijagonale koje se prelaze u sredini kocke. Želite pronaći kut njihova sjecišta. Ovaj će pravokutnik biti visok 1 jedinica i širok √2 jedinice. Duge dijagonale dijele jedna drugu u sredini ovog pravokutnika i tvore dvije različite vrste trokuta. Jedan od ovih trokuta ima jednu stranu jednaku jedinici, a druge dvije strane jednaku √3 / 2 (jedna polovica duljine duge dijagonale). Druga također ima dvije strane jednake √3 / 2, ali je njena druga strana jednaka √2. Trebate samo analizirati jedan od trokuta, pa uzmite prvi i riješite se za nepoznati kut.
Upotrijebite trigonometrijsku formulu c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C za rješavanje nepoznatog kuta ovog trokuta. C = 1, a i a i b jednaki su √3 / 2. Uključivši ove vrijednosti u jednadžbu, utvrdit ćete da je kosinus vašeg nepoznatog kuta 1/3. Uzimanje inverznog kosinusa od 1/3 daje kut od 70,5 stupnjeva.