Sadržaj
Stope promjene pojavljuju se u cijeloj znanosti, a posebno u fizici, kroz količine poput brzine i ubrzanja. Derivati opisuju brzinu promjene jedne količine u odnosu na drugu matematički, ali njihovo izračunavanje može biti ponekad složeno, a može vam se prikazati grafikon, a ne funkcija u obliku jednadžbe. Ako vam se prikaže grafikon krivulje i morate naći izvedenicu iz nje, možda nećete biti tako točni kao u jednadžbi, ali lako možete napraviti solidnu procjenu.
TL; DR (Predugo; nisam pročitao)
Odaberite točku na grafu da biste pronašli vrijednost derivata na.
Nacrtajte ravnu liniju tangencijalnu na krivulju grafa u ovoj točki.
Krenite nagibom ove crte da biste pronašli vrijednost derivata u vašoj odabranoj točki na grafikonu.
Što je izvedenica?
Izvan apstraktne postavke razlikovanja jednadžbe možda ćete biti malo zbunjeni što je izvedenica. U algebri je derivacija funkcije jednadžba koja vam govori vrijednost "nagiba" funkcije u bilo kojoj točki. Drugim riječima, on vam govori koliko se jedna količina mijenja s obzirom na malu promjenu druge. Na grafikonu, gradijent ili nagib linije govore koliko ovisi varijabla (postavljena na y-os) mijenja se s nezavisnom varijablom (na x-os).
Za pravocrtne grafove određujete (konstantnu) stopu promjene računanjem nagiba grafikona. Odnosi opisani krivuljama nisu tako lako riješiti, ali načelo da derivat samo znači nagib (u toj određenoj točki) još uvijek vrijedi.
Za odnose opisane krivuljama, derivat uzima različitu vrijednost u svakoj točki duž krivulje. Da biste procijenili izvedenicu grafikona, trebate odabrati točku na kojoj ćete uzeti derivat. Na primjer, ako imate grafikon koji prikazuje putanju udaljenosti u odnosu na vrijeme, nagib će vam reći stalnu brzinu. Za brzine koje se mijenjaju s vremenom, graf bi bio krivulja, ali ravna crta koja samo dodiruje krivulju u jednoj točki (linija tangencijalna krivulji) predstavlja brzinu promjene u toj određenoj točki.
Odaberite mjesto na kojem morate znati derivat. Koristeći primjer prijeđene udaljenosti u odnosu na vrijeme, odaberite vrijeme u kojem želite znati brzinu putovanja. Ako trebate znati brzinu u nekoliko različitih točaka, možete proći kroz ovaj postupak za svaku pojedinu točku. Ako želite znati brzinu 15 sekundi nakon početka pokreta, odaberite mjesto na krivulji na 15 sekundi na x-os.
Nacrtajte liniju tangencijalnu krivulju na točki koja vas zanima. Odvojite vrijeme kada to radite jer je to najvažniji i najizazovniji dio postupka. Vaša će procjena biti bolja ako nacrtate precizniju tangencijalnu liniju. Držite ravnalo do točke na krivulji i podesite njegovu orijentaciju tako da linija koju nacrtate bude samo dodirnite krivulju u samoj točki koja vas zanima.
Nacrtajte liniju sve dok graf dopušta. Obavezno lako očitajte dvije vrijednosti za obje x i y koordinate, jedna pri početku vaše linije i jedna pri kraju. Ne morate apsolutno crtati dugu liniju (tehnički je prikladna bilo koja ravna crta), ali duže su linije lakše mjeriti nagib.
Pronađite dva mjesta na liniji i zapišite ih x i y koordinate za njih. Na primjer, zamislite svoju tangencijalnu liniju kao dva zapažena mjesta na x = 1, y = 3 i x = 10, y = 30, koju možete nazvati Točkom 1 i Točkom 2. Korištenjem simbola x1 i y1 predstavljati koordinate prve točke i x2 i y2 predstavljati koordinate druge točke, nagiba m daje:
m = (y2 - y1) ÷ (x2 – x1)
Ovo vam govori izvedenicu krivulje na mjestu gdje linija dodiruje krivulju. U primjeru, x1 = 1, x2 = 10, y1 = 3 i y2 = 30, dakle:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
U primjeru, ovaj bi rezultat bila brzina u odabranoj točki. Pa ako x-osovina se mjeri u sekundi i y-osovina se mjeri u metrima, rezultat bi značio da dotično vozilo putuje brzinom od 3 metra u sekundi. Bez obzira na određenu količinu koju izračunavate, postupak procjene derivata je isti.