Sadržaj
- Rješavanje sustava jednadžbi zamjenom
- Savjet
- Rješavanje sustava jednadžbi eliminacijom
- Rješavanje sustava jednadžbi grafičkim prikazom
Rješavanje sustava simultanih jednadžbi u početku se čini kao vrlo zastrašujući zadatak. Uz više od jedne nepoznate količine za pronalaženje vrijednosti i, naizgled, vrlo malo načina odvajanja jedne varijable od druge, može biti glavobolja ljudima koji nisu algebri. No, postoje tri različite metode za pronalaženje rješenja jednadžbe, od kojih dvije ovise više o algebri i malo su pouzdanije, a druga pretvara sustav u niz linija na grafu.
Rješavanje sustava jednadžbi zamjenom
Riješite sustav istodobnih jednadžbi supstitucijom tako što prvo izrazite jednu varijablu u odnosu na drugu. Koristeći ove jednadžbe kao primjer:
x – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
Preuredite najjednostavniju jednadžbu i koristite je za umetanje u drugu. U ovom slučaju dodavanje y obje strane prve jednadžbe daju:
x = y + 5
Upotrijebite izraz za x u drugoj jednadžbi proizvesti jednadžba s jednom varijablom. U primjeru, ovo čini drugu jednadžbu:
3 × (y + 5) + 2_y_ = 5
3_y_ + 15 + 2_y_ = 5
Prikupite slične izraze da biste dobili:
5_y_ + 15 = 5
Preuredite se i riješite za y, počevši od oduzimanja 15 sa obje strane:
5_y_ = 5 - 15 = −10
Podjela obje strane na 5 daje:
y = −10 ÷ 5 = −2
Tako y = −2.
Umetnite ovaj rezultat u bilo koju jednadžbu kako biste riješili preostalu varijablu. Na kraju koraka 1 utvrdili ste da:
x = y + 5
Upotrijebite vrijednost za koju ste pronašli y dobiti:
x = −2 + 5 = 3
Tako x = 3 i y = −2.
Savjet
Rješavanje sustava jednadžbi eliminacijom
Pogledajte svoje jednadžbe da biste pronašli varijablu koju želite ukloniti:
x – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
Na primjeru možete vidjeti da jedna jednadžba ima -y a drugi ima + 2_y_. Ako drugoj jednadžbi dodate dvaput drugu, molimo y uvjeti bi otkazali i y bili bi eliminirani. U drugim slučajevima (npr. Ako želite eliminirati x), također možete oduzeti više od jedne jednadžbe od druge.
Pomnožite prvu jednadžbu s dvije kako biste je pripremili za metodu uklanjanja:
2 × (x – y) = 2 × 5
Tako
2_x_ - 2_y_ = 10
Eliminirajte odabranu varijablu dodavanjem ili oduzimanjem jedne jednadžbe iz druge. U primjeru dodajte novu inačicu prve jednadžbe drugoj jednadžbi da biste dobili:
3_x_ + 2_y_ + (2_x_ - 2_y_) = 5 + 10
3_x_ + 2_x_ + 2_y_ - 2_y_ = 15
To znači:
5_x_ = 15
Riješite za preostalu varijablu. U primjeru podijelite obje strane sa 5 da biste dobili:
x = 15 ÷ 5 = 3
Kao prije.
Kao i u prethodnom pristupu, kad imate jednu varijablu, možete je umetnuti u bilo koji izraz i ponovno organizirati da biste pronašli drugu. Pomoću druge jednadžbe:
3_x_ + 2_y_ = 5
Dakle, od god x = 3:
3 × 3 + 2_y_ = 5
9 + 2_y_ = 5
Oduzmite 9 s obje strane da biste dobili:
2_y_ = 5 - 9 = −4
Na kraju, podijelite s dva kako biste dobili:
y = −4 ÷ 2 = −2
Rješavanje sustava jednadžbi grafičkim prikazom
Riješite sustave jednadžbi s minimalnom algebrom tako što ćete graficirati svaku jednadžbu i tražiti x i y vrijednost gdje se linije presijecaju. Pretvorite svaku jednadžbu u oblik presretanja nagiba (y = mx + b) prvo.
Prvi primjer jednadžbe je:
x – y = 5
To se može lako pretvoriti. Dodati y na obje strane, a zatim oduzmite 5 s obje strane da biste dobili:
y = x – 5
Koji ima nagib od m = 1 i a y-prihvaćanje b = −5.
Druga jednadžba je:
3_x_ + 2_y_ = 5
Oduzmite 3_x_ s obje strane da biste dobili:
2_y_ = −3_x_ + 5
Zatim podijelite s 2 da biste dobili oblik presretanja nagiba:
y = −3_x_ / 2 + 5/2
Dakle, ovo ima nagib od m = -3/2 i a y-prihvaćanje b = 5/2.
Koristiti y presretanje vrijednosti i nagibi iscrtati obje linije na grafu. Prva jednadžba presijeca y os na y = −5, i y vrijednost se povećava za 1 svaki put x vrijednost se povećava za 1. Time se crta lako crta.
Druga jednadžba presijeca y os na 5/2 = 2.5. Pomiče se prema dolje i y vrijednost se smanjuje za 1,5 svaki put x vrijednost se povećava za 1. Možete izračunati vrijednost y vrijednost za bilo koju točku na x os koristeći jednadžbu ako je lakše.
Pronađite točku gdje se linije presijecaju. Ovo vam daje oboje x i y koordinate rješenja sustava jednadžbi.