Sadržaj
- Definicija nejednakosti apsolutne vrijednosti
- Kako riješiti apsolutnu nejednakost vrijednosti
- Apsolutne nejednakosti vrijednosti bez rješenja
- Interval Notation
Rješavanje nejednakosti apsolutnih vrijednosti mnogo je slično rješavanju jednadžbi apsolutnih vrijednosti, ali ima na umu nekoliko dodatnih detalja. Pomaže da već budete ugodni u rješavanju jednadžbi apsolutnih vrijednosti, ali u redu je i ako ih zajedno učite!
Definicija nejednakosti apsolutne vrijednosti
Prije svega, an apsolutna vrijednosna nejednakost je nejednakost koja uključuje apsolutni vrijednosni izraz. Na primjer,
| 5 + x | - 10> 6 je apsolutna vrijednost nejednakosti, jer ima znak nejednakosti,> i izraz apsolutne vrijednosti, | 5 + x |.
Kako riješiti apsolutnu nejednakost vrijednosti
koraci za rješavanje apsolutne vrijednosne nejednakosti vrlo su slični koracima za rješavanje jednadžbe apsolutne vrijednosti:
Korak 1: Izdvojite izraz apsolutne vrijednosti na jednoj strani nejednakosti.
Korak 2: Riješite pozitivnu „verziju“ nejednakosti.
3. korak: Riješite negativnu "verziju" nejednakosti množenjem količine s druge strane nejednakosti s -1 i prebacivanjem znaka nejednakosti.
To je puno za uzeti odjednom, pa je evo primjera koji će vas provesti kroz korake.
Riješite nejednakost za x: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Da biste to učinili, nabavite | 5 + 5_x_ | sama po sebi s lijeve strane nejednakosti. Sve što trebate učiniti je dodati 3 na svaku stranu:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Sada postoje dvije "verzije" nejednakosti koje trebamo riješiti: pozitivna "verzija" i negativna "verzija".
Za ovaj korak, pretpostavite da su stvari takve kakve izgledaju: da je 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Ovo je jednostavna nejednakost; samo se morate riješiti x kao i obično. Oduzmite 5 s obje strane, a obje strane podijelite s 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (oduzmi pet s obje strane)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (podijelite obje strane po pet)
x > 0.
Nije loše! Dakle, jedno moguće rješenje za našu nejednakost je to x > 0. Sada, s obzirom na to da su uključene apsolutne vrijednosti, njegovo vrijeme razmatra drugu mogućnost.
Da biste razumjeli ovaj sljedeći dio, pomaže vam zapamtiti što apsolutna vrijednost znači. Apsolutna vrijednost mjeri udaljenost brojeva od nule. Udaljenost je uvijek pozitivna, pa je 9 udaljeno devet nula od nule, ali −9 je i devet jedinica udaljeno od nule.
Dakle | 9 | = 9, ali | −9 | = 9.
Vratimo se gore navedenom problemu. Gore navedeni rad pokazao je da | 5 + 5_x_ | > 5; drugim riječima, apsolutna vrijednost "nečega" veća je od pet. Sada će svaki pozitivni broj veći od pet biti dalje od nule nego pet. Dakle, prva opcija je bila da je "nešto", 5 + 5_x_, veće od 5.
To jest: 5 + 5_x_> 5.
To je gornji scenarij, u koraku 2.
Sad razmislite malo dalje. Što je još pet jedinica udaljeno od nule? Pa, negativnih pet je. A sve što je dalje duž crte broja od negativne petice bit će još dalje od nule. Dakle, naše "nešto" moglo bi biti negativan broj koji je dalje od nule nego negativne pet. To znači da bi to bio veći zvuk, ali tehnički gledano manje od negativna pet jer se kreće u negativnom smjeru na brojčanoj liniji.
Naše „nešto“, 5 + 5x, moglo bi biti manje od –5.
5 + 5_x_ <−5
Najbrži način za to algebrično je umnožiti količinu s druge strane nejednakosti, 5, s negativnom, a zatim prebaciti znak nejednakosti:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Zatim riješite kao i obično.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (oduzmi 5 s obje strane)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
x < −2.
Dakle, moguća su rješenja nejednakosti x > 0 ili x <−2. Provjerite uključivanjem nekoliko mogućih rješenja kako biste bili sigurni da nejednakost i dalje vrijedi.
Apsolutne nejednakosti vrijednosti bez rješenja
Postoji scenarij gdje bi to bilo nema rješenja za apsolutnu vrijednosnu nejednakost, Budući da su apsolutne vrijednosti uvijek pozitivne, ne mogu biti jednake ili manje negativnih brojeva.
Dakle | x | <−2 ima nema rješenja jer ishod apsolutnog vrijednosnog izraza mora biti pozitivan.
Interval Notation
Da bismo napisali rješenje za naš glavni primjer u notacija intervala, razmislite o tome kako rješenje izgleda u brojčanoj liniji. Naše rješenje je bilo x > 0 ili x <−2. U brojčanoj liniji, to je otvorena točka na 0, s linijom koja se proteže do pozitivne beskonačnosti, a otvorena točka na −2, s linijom koja se pruža do negativne beskonačnosti. Ova rješenja usmjerena su jedna prema drugoj, a ne jedna prema drugoj, pa uzmite svaki komad zasebno.
Za x> 0 na brojčanoj liniji, otvara se točka na nuli, a zatim linija koja se proteže do beskonačnosti. U intervalnom zapisu, otvorena točka je prikazana zagradama, (), a zatvorena točka ili nejednakosti s ≥ ili ≤ bi koristile zagrade,. Pa za x > 0, napiši (0, ∞).
Druga polovica, x <−2, na brojčanoj liniji je otvorena točka na −2, a zatim strelica koja se proteže sve do −∞. U intervalnom zapisu, to je (−∞, −2).
"Ili" u intervalnom zapisu je znak unije, ∪.
Dakle, rješenje u zapisu intervala je (−∞, −2) ∪ (0, ∞).