Sadržaj
Jedna od važnih operacija u proračunu je pronalazak derivata. Derivat funkcije se također naziva i brzina promjene te funkcije. Na primjer, ako je x (t) položaj automobila u bilo kojem trenutku t, tada je izvedenica x, koja je napisana dx / dt, brzina automobila. Derivat se također može prikazati nagibom crte tangente na grafu funkcije. Na teorijskoj razini, matematičari pronalaze izvedenice. U praksi matematičari koriste skupove osnovnih pravila i tablice pretraživanja.
Derivat kao nagib
Nagib linije između dviju točaka predstavlja porast ili razliku y vrijednosti podijeljenih s trkom ili razliku u x vrijednostima. Nagib funkcije y (x) za određenu vrijednost x definira se kao nagib pravca koji je tangentan na funkciju u točki. Da biste izračunali nagib, izgradite liniju između točke i obližnje točke, gdje je h vrlo mali broj. Za ovu liniju, trčanje ili promjena x vrijednosti je h, a porast ili promjena vrijednosti y je y (x + h) - y (x). Prema tome, nagib y (x) u točki je približno jednak / = / h. Da biste točno dobili nagib, izračunavate vrijednost nagiba kako h postaje sve manji i manji, do „granice“ gdje ide na nulu. Nagib izračunan na ovaj način je izvedenica y (x), koja se piše kao y'(x) ili dy / dx.
Derivat funkcije napajanja
Možete koristiti metodu nagiba / ograničenja za izračunavanje derivata funkcija gdje je y jednak x snagom a, ili y (x) = x ^ a. Na primjer, ako je y jednak x kub, y (x) = x ^ 3, tada je dy / dx granica jer h ide na nulu od / h. Proširivanje (x + h) ^ 3 daje / h, što se smanjuje na 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 nakon što podijelite s h. U ograničenju kako h ide na nulu, svi izrazi koji u njima imaju h također prelaze u nulu. Dakle, y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. To možete učiniti za vrijednosti koje nisu 3, a općenito možete pokazati da je d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Derivat iz serije napajanja
Mnoge se funkcije mogu napisati kao što se naziva nizom moći, koji su zbroj beskonačnih brojevnih izraza, gdje je svaka oblika C (n) x ^ n, gdje je x varijabla, n je cijeli broj, a C ( n) je specifičan broj za svaku vrijednost n. Na primjer, niz snaga za sinusnu funkciju je Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., gdje "..." znači izraze koji se nastavljaju na do beskonačnosti. Ako znate niz snaga za funkciju, možete upotrijebiti derivat snage x ^ n za izračunavanje derivata funkcije. Na primjer, derivacija Sin (x) jednaka je 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., što se događa s nizom moći za Cos (x).
Derivati iz tablica
Derivati osnovnih funkcija kao što su moći poput x ^ a, eksponencijalne funkcije, funkcije dnevnika i trig funkcije nalaze se pomoću metode nagiba / ograničenja, metode nizova snage ili drugih metoda. Ovi derivati su zatim navedeni u tablicama. Na primjer, možete potražiti da je izvedenica Sin (x) Cos (x). Kada su složene funkcije kombinacija osnovnih funkcija, potrebna su vam posebna pravila poput pravila lanca i pravila proizvoda koja su također dana u tablicama. Na primjer, pomoću lančanog pravila nalazite da je izvedenica Sin (x ^ 2) 2xCos (x ^ 2). Pomoću pravila proizvoda nalazite da je derivat xSin (x) xCos (x) + Sin (x). Pomoću tablica i jednostavnih pravila možete pronaći derivat bilo koje funkcije. Ali kada je funkcija izuzetno složena, znanstvenici ponekad pribjegavaju računalnim programima za pomoć.