Sadržaj
- Pronađite središnji kut od duljine i oboda luka
- Pronađite središnji kut od duljine i radijusa luka
- Teorem o središnjem kutu
- Izuzetak od teorema središnjeg kuta
- Vizualizirajte
Zamislite da stojite usred savršeno kružne arene. Gledate prema gužvi uz bok arene i na jednom mjestu primjećujete svog najboljeg prijatelja i srednjoškolskog učitelja matematike u nekoliko odjeljaka. Koja je udaljenost između njih i vas? Koliko biste morali pješačiti da biste putovali od svog prijatelja do sjedišta učitelja? Koje su mjere kutova između vas? Sve su to pitanja koja se odnose na središnje kutove.
središnji kut je kut koji nastaje kada se dva polumjera povuku od središta kruga do njegovih rubova. U ovom primjeru, dva polumjera su vaše dvije linije vida od vas, u središtu arene, do vašeg prijatelja, a vaša vidovnja prema vašem učitelju. Kut koji nastaje između ove dvije linije je središnji kut. Njegov kut najbliži sredini kruga.
Vaš prijatelj i vaš učitelj sjede uz bok opseg ili rubovima kruga. Put duž arene koja ih spaja je an luk.
Pronađite središnji kut od duljine i oboda luka
Postoji nekoliko jednadžbi pomoću kojih možete pronaći središnji kut. Ponekad ćete dobiti dužina luka, udaljenost duž opsega između dviju točaka. (Na primjeru, ovo je udaljenost koju biste morali prošetati oko arene da biste dobili prijatelja od svog učitelja.) Odnos između srednjeg kuta i duljine luka je:
(dužina luka) ÷ opseg = (središnji kut) ÷ 360 °
Središnji kut će biti u stupnjevima.
Ova formula ima smisla, ako razmislite. Duljina luka od ukupne duljine oko kruga (opseg) jednaka je proporciji kao i kut lukova izvan ukupnog kuta u krugu (360 stupnjeva).
Da biste učinkovito iskoristili ovu jednadžbu, morate znati opseg kruga. Ali ovu formulu možete koristiti i za pronalaženje duljine luka ako znate središnji kut i opseg. Ili, ako imate duljinu luka i središnji kut, možete pronaći opseg!
Pronađite središnji kut od duljine i radijusa luka
Možete koristiti i polumjer kruga i duljinu luka kako biste pronašli središnji kut. Nazovite mjeru središnjeg kuta θ. Zatim:
θ = s ÷ r, gdje je s duljina luka i r je polumjer. θ se mjeri u radijanima.
Opet, možete prilagoditi ovu jednadžbu ovisno o informacijama koje imate. Duljina luka možete pronaći iz polumjera i središnjeg kuta. Ili možete pronaći polumjer ako imate središnji kut i duljinu luka.
Ako želite duljinu luka, jednadžba izgleda ovako:
s = θ * r, gdje je s duljina luka, r je polumjer, a θ je središnji kut u radijanima.
Teorem o središnjem kutu
Omogućimo vašem primjeru zaokret gdje ste bili u areni sa svojim susjedom i svojim učiteljem. Sada je u areni treća osoba koju poznajete: vaš susjed iz susjedstva. I još jedna stvar: Oni su iza vas. Morate se okrenuti da ih vidite.
Vaš prijatelj je otprilike preko arene od vašeg prijatelja i vašeg učitelja. S gledišta vaših susjeda, kut je oblikovan njihovim vidom prema prijatelju i njihovim vidom prema učitelju. To je nazvao upisani kut. upisani kut je kut formiran od tri točke duž opsega krugova.
Teorem o središnjem kutu objašnjava odnos između veličine središnjeg kuta koju ste stvorili i upisanog kuta koju je stvorio vaš susjed. Teorem središnjeg kuta navodi da središnji kut je dvostruko veći od upisanog kuta, (Ovo pretpostavlja da koristite iste krajnje točke. I gledate učitelja i prijatelja, a ne nikoga drugog).
Tu je još jedan način da se napiše. Nazovimo svoje prijatelje A, sjedalo učitelja B i komšije sjedalo C. Vi, u središtu, možete biti O.
Dakle, za tri točke A, B i C duž opsega kruga i točke O u središtu, središnji kut OCAOC dvostruko je upisani kut ∠ABC.
To je, ∠AOC = 2∠ABC.
Ovo ima smisla. Bili ste bliže prijatelju i učitelju, pa se na vas gledaju dalje (veći kut). Na vašeg susjeda s druge strane stadiona, oni izgledaju mnogo bliže zajedno (manji kut).
Izuzetak od teorema središnjeg kuta
A sada, prebacimo stvari naprijed. Vaš susjed s druge strane arene počinje se kretati! Još uvijek imaju vid prijatelja i učitelja, ali crte i kutovi neprestano se mijenjaju dok se susjed kreće. Pogodite što: Dok susjed ostaje izvan luka između prijatelja i susjeda, teorema o središnjem kutu još uvijek vrijedi!
Ali što se događa kad se susjed pomiče između prijatelja i učitelja? Sada je vaš susjed unutar manji luk, relativno mala udaljenost između prijatelja i učitelja u odnosu na veću udaljenost oko ostatka arene. Tada dolazite do iznimke od teorema o središnjem kutu.
izuzetak od teorema središnjeg kuta kaže da kada se točka C, susjed, nalazi u manjem luku, upisani kut je suplement polovine središnjeg kuta. (Sjetite se tog kuta i njegovog dopuniti dodajte na 180 stupnjeva.)
Tako: upisani kut = 180 - (središnji kut ÷ 2)
Ili: ∠ABC = 180 - (OCAOC ÷ 2)
Vizualizirajte
Math Open Reference ima alat za vizualizaciju teorema o središnjem kutu i njegove iznimke. Morate povući "susjeda" u sve različite dijelove kruga i gledati kako se kutovi mijenjaju. Isprobajte ako želite vizualnu ili dodatnu praksu!