Kako izračunati CG

Sadržaj

• Kako pisati o centru gravitacije
• Kako izračunati CG trokuta
• Formula težišta gravitacije za pravokutnik
• Središte gravitacijske jednadžbe
• Trikovi za pronalaženje centra gravitacije

Prije nego što raspravimo težište, pretpostavimo nekoliko parametara. Prvo, vi se bavite objektom koji se nalazi na Zemljinoj površini, a ne negdje u svemiru. I dva, da je objekt razmjerno malen - recimo, nije svemirski brod parkiran na Zemlji, koji čeka da uzleti.Jednom kada budu uklonjeni svi vanzemaljski utjecaji, vi ste u finom položaju da izračunate težište geometrijskih objekata koristeći relativno jednostavnu formulu - i zapravo, zbog upravo postavljenih uvjeta, upotrijebit ćete istu formulu da pronađete težište kao pronaći središte mase.

Kako pisati o centru gravitacije

Težište u dvodimenzionalnoj ravnini obično se označava koordinatama (x_cg, y_cg) ili ponekad od strane varijabli x i y s šipkom iznad njih. Također, izraz "težište" ponekad se skraćuje na cg.

Kako izračunati CG trokuta

Vaša matematička ili fizička knjiga često sadrži grafikone za određivanje središta ravnoteže određenih brojki. No, za neke uobičajene geometrijske oblike možete upotrijebiti odgovarajuću formulu težišta da biste pronašli te oblike težišta.

Za trokute težište sjedi na mjestu gdje se sva tri medijalna presijecaju. Ako započnete s jednom vrhom trokuta, a zatim povučete ravnu liniju do sredine druge strane, to je jedna srednja. Učinite isto za druga dva vrha, a točka u kojoj se sva tri medijalna presijecaju središte gravitacije trokuta.

I naravno, postoji formula za to. Ako su koordinate težišta trokuta trougla (x_cg, y_cg), te njegove koordinate na taj način pronalazite:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Gdje (x₁, y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃) su koordinate trokuta tri vrha. Možete izabrati kojoj vršci je dodijeljen koji broj.

Formula težišta gravitacije za pravokutnik

Jeste li primijetili da da biste pronašli središte gravitacije za trokut, samo prosječite vrijednost x-koordinata, zatim prosječite vrijednost y-koordinata i koristite dva rezultata kao koordinate za svoje središte gravitacije?

Da biste pronašli težište za pravokutnik, napravite potpuno istu stvar. Ali da biste svoje izračune učinili još lakšim, pretpostavite da je pravokutnik orijentiran kvadratno prema kartezijanskoj koordinatnoj ravnini (tako da nije postavljen pod kutom) i da je njegova donja lijeva vršna točka u početku grafa. U tom slučaju pronaći (x_cg, y_cg) za pravokutnik sve što morate izračunati je:

x_cg = širina ÷ 2

y_cg = visina ÷ 2

Ako ne želite svoj pravokutnik premjestiti na ishod koordinatne ravnine ili ako iz bilo kojeg razloga nije točno kvadratni prema koordinatnim osovinama, možete se suočiti s ovom pomalo zastrašujućom, ali još uvijek učinkovitom formulom za prosječenje svih njegovih x-koordinata pronaći vrijednost x_cg, i prosječite sve y-koordinate da biste pronašli vrijednost y_cg:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

Središte gravitacijske jednadžbe

Što ako trebate izračunati središte gravitacije za oblik koji odgovara svim prethodno spomenutim pretpostavkama (u osnovi, ne pokušavate raditi doslovno raketnu znanost pronalaženjem centra težišta za objekte u svemiru), ali to ne pada u bilo koji od samo spomenute kategorije ili na ljestvicama na poleđini vaše knjige? Zatim možete podijeliti svoj oblik na više poznate oblike i pomoću sljedećih jednadžbi pronaći njihovo zajedničko težište:

x_cg = (a₁x₁ + a₂x₂ +. , , + a_nx_n) ÷ (a₁ + a₂ +. , , + a_n)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. , , + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. , , + a_n)

Ili da kažem drugačije, x_cg jednaka je površini odjeljka 1 puta većoj od lokacije na x-osi, dodano je području odsječka 2 puta njegovoj lokaciji, i tako dalje sve dok ne zbrojite površinu od vremena svih sekcija; a zatim podijelite cijeli iznos s ukupnom površinom svih odjeljaka. Zatim učinite isto za y.

P: Kako mogu pronaći područje svakog odjeljka? Podjela složenog ili nepravilnog oblika na više poznatih poligona omogućava vam da pronađete područje pomoću standardiziranih formula. Na primjer, ako ste taj oblik podijelili u pravokutne komade, pomoću formule dužine × širine možete pronaći područje svakog komada.

P: Kakva je "lokacija" svakog odjeljka? Mjesto svakog odsječka je odgovarajuća koordinata iz te sekcije težište. Dakle, ako želite y₂ (mjesto za segment 2), zapravo trebate navesti y koordinatnu sredinu gravitacije za te segmente. Opet, to je razlog zašto podjeljente čudno oblikovan predmet na više poznate oblike, jer pomoću formula koje smo već raspravljali možete pronaći središte gravitacije svakog oblika, a zatim izdvojiti odgovarajuće koordinate.

P: Gdje moj oblik ide na koordinatnoj ravnini? Možete odabrati gdje vaš oblik sjedi na koordinatnoj ravnini - samo imajte na umu da će vaše težište odgovora biti u odnosu na istu referentnu točku. Najlakše je postaviti svoj objekt u prvi kvadrant grafikona, a njegov donji rub nasuprot osi x, a lijevi rub y-osi, tako da su sve x- i y vrijednosti pozitivne, ali i dovoljno male da budu rukovanje.

Trikovi za pronalaženje centra gravitacije

Ako se bavite jednim objektom, intuicija i malo logike ponekad su sve što vam je potrebno da biste pronašli njeno središte gravitacije. Na primjer, ako razmišljate o ravnom disku, težište će biti središte diska. U cilindru je njegova sredina na osi cilindara. Za pravokutnik (ili kvadrat) njegova je točka gdje se dijagonalne linije konvergiraju.

Možda ste ovdje primijetili obrazac: Ako dotični objekt ima simetrijsku liniju, težište će biti na toj liniji. A ako ima više osi simetrije, težište će biti tamo gdje se te osi presijecaju.

Konačno, ako pokušavate pronaći težište za uistinu složen objekt, imate dvije mogućnosti: Ili izvucite svoje najbolje integrale računa (vidi Resursi za trostruki integral koji predstavlja težište nejednake mase) ili unesite svoje podatke u namjenski izračunat centar gravitacije. (Pogledajte Resursi za primjer izračuna gravitacijskog centra za radio-upravljane avione.)